HISTORIA DE LOS NUMEROS ANTIGUOS

NUMEROS ARABIGOS

Los números arábigos, son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el 0. Se trata de un sistema de tipo decimal cuyas cifras ocupan un lugar con un determinado valor, siendo el símbolo cero el lugar destinado al vacío. Todos conocemos la gran simplicidad que los números arábigos han traído al cálculo aritmético. La carga innecesaria de la que han liberado a la mente humana es incalculable. Frente a cualquier otro sistema de numeración inventado por el hombre, permiten una mayor facilidad de manejo (debido a la presencia del cero).

Al hombre le llevó cerca de cinco mil años, a partir del comienzo de los símbolos numéricos, para concebir un símbolo que representase la nada. No se conoce quién fue su inventor, sin duda uno de los pensadores más creativos y originales de la historia. Sólo sabemos que fue un hindú que vivió antes del siglo IX d.C.

Los hindúes denominaron a este símbolo “sunya”, que quiere decir nada o vacío y que fue adoptado por los árabes bajo la denominación de “sifr”, que en su idioma significaba lo mismo. Con el tiempo esta palabra se convertiría en “cefer”, más fácil de pronunciar. Finalmente dio origen en inglés a "cipher" y "zero" (esta última por intermedio de zefirum), así como a los vocablos castellanos cero y cifra.

A continuación pueden compararse los números hindi con los actuales. Como puede comprobarse, presentan ciertas similitudes. Si los primeros se comparan con los árabes, en la tabla de la derecha, podrá verse que son idénticos.

Fue el matemático italiano Leonardo Fibonacci, el más completo de la Edad Media, quien aprendió el “nuevo” sistema de numeración adoptado y mejorado por los árabes. Hacia el año 1200, cuando Fibonacci era joven, Pisa (su ciudad natal) tenía un gran ambiente comercial y estaba entregada al comercio con el Norte de África. Leonardo tuvo así la oportunidad de visitar esa región y de gozar de los beneficios de la educación árabe. En 1202 publicó su tratado “Líber Abaci”, en el que se empleaba ese sistema y el símbolo “nada”, enseñando su uso en aritmética e introduciendo definitivamente estos números. Por aquel entonces Europa empezaba tímidamente a salir de las tinieblas de la Edad Media. La prosperidad aumentaba y con ella el deseo de saber. En Italia había numerosos comerciantes que necesitaban realizar continuos cálculos para mantener sus negocios y, en cuanto comprobaron las ventajas de los números “arábigos” (denominados así, pese a su procedencia hindú, porque los europeos los aprendieron del pueblo musulmán) y la importancia del cero, adoptaron el nuevo sistema, aunque con cierta lentitud. Apenas si costó un par de siglos convencerlos para que aceptaran el cambio.

Debido a que estos números provenían de países que no usaban el alfabeto romano, sus formas eran muy distintas a las de las letras latinas, y esto también fue ventajoso: terminó así su confusión con los números romanos, que terminaron pasando completamente de moda, perdiéndose prácticamente su uso. Desde entonces se pudieron realizar las mismas operaciones con la centésima parte de las explicaciones y sin perderse ningún conocimiento, manteniéndose intactos hasta la actualidad.


NUMEROS ROMANOS

Los romanos formaron un imperio que se extendía por casi toda Europa y el norte de Africa.

Los pueblos sometidos aprendieron de ellos su modo de vida, sus costumbres, su lengua llamada latín, su escritura y también su sistema de numeración.

El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

Actualmente vemos y utilizamos números romanos en muy pocas ocasiones: para nombrar los siglos, en los actos y escenas de una obra de teatro, en la designación de olimpiadas, congresos y certámenes, en la numeración de reyes, emperadores y papas, en inscripciones antiguas y en relojes antiguos.

La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:

Letras I V X L C D M
Valores 1 5 10 50 100 500 1.000

Con estas letras se representan las cantidades, veamos algunos ejemplos:
XXXII = 32 LXIII = 63 CI = 101 MX = 1010

Para representar cantidades mayores, se coloca una línea sobre las letras:
V 5,000
X 10,000
L 50,000
C 100,000
D 500,000
M 1,000,000


NUMEROS EGIPCIOS

Desde el tercer milenio antes de la era común, los antiguos egipcios contaban con un sistema de escritura muy organizada para ellos describían los números en base al número diez usando jeroglíficos, esto se basada en imágenes comunes en su iconografía.

Estos se usaban mucho cuando fuese necesario, y la manera de escribir era o bien de derecha a izquierda o lo contrario, o bien de arriba abajo según el caso de la orientación de la figura.

Cada una de estas imágenes representaba una palabra, por ejemplo, la figura de un gato podía representar al mismo animal tanto así como otros valores y cualidades que el Antiguo Egipto le otorgaba, pero sin el debido acompañamiento de otros símbolos, el mensaje que se quería transmitir no podría ser bien interpretado.

Lo mismo se puede decir del sistema jeroglífico destinado a la numeración, la cual tenía símbolos específicos para identificar a la unidad, la decena, un centenar, un millar, para diez millares, cien millares y un millón. Este sistema de numeración egipcio data de hace 3.000 a.c. y haciendo una comparación con los tiempos actuales debe decirse que resultaba demasiado largo y complicado ya que si querías formar la cifra 2419 (por tomar un ejemplo) requerirías de 16 diferentes jeroglíficos: tenías que utilizar dos jeroglíficos que simbolicen un millar, cuatro que sean centenas, uno de decenas y por último nueve jeroglíficos que simbolicen a la unidad.


NUMEROS GRIEGOS

Los números griegos pertenecen a un sistema numérico que utiliza letras del alfabeto griego que incluso en los días de hoy se sigue utilizando para los números ordinales, de semejante forma al uso de los números romanos en el occidente europeo.

Se estima que el sistema de numeración griego más antiguo fue el llamado ático o acrofónico, el cual funcionaba de forma parecida al romano, que deriva de este sistema.

A partir del siglo IV a. C., el sistema acrofónico es sustituido por un sistema alfabético cuasi decimal, llamado jónico. Este consistía en asignar una letra a cada cifra de unidad, a cada decena otra letra y a cada centena, otra letra. Esto implicó el requerimiento de 27 letras, de modo que se extendió el sistema griego de 24 letras, con tres letras ya anticuadas: las llamadas digamma para el 6 (hoy se usa stigma), qoppa para el 90 (hoy en día se utiliza el qoppa numérico), y sampi para el 900.
Por último cabe destacar un elemento importante dentro del sistema numèrico griego: el cero helenistico. Los astrónomos helenisticos incluyeron un símbolo especial para el 0. Este cero se utilizaba más a menudo en la representación de cifras. Ejemplos de ello era la limitación de las fracciones, llamadas minutos, segundos, tercios, cuartos, etc.; no siendo usada en la parte entera de un número.


NUMEROS BABILONICOS

El avance del sistema babilonio sobre sus antecesores fue el desarrollo de un sistema posicional.

La civilización babilonia de Mesopotamia reemplazó a las civilizaciones sumeria y acadia. En nuestro artículo sobre las matemáticas babilonias damos el trasfondo histórico de estos acontecimientos. Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos incluso dirían que fue su mayor logro en matemáticas.

A menudo, al oír que el sistema numérico babilónico era de base 60, la primera reacción de la gente es: cuántos símbolos numéricos específicos tenían que haber aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es un sistema posicional con nueve símbolos específicos y un símbolo cero para denotar un lugar vacío. Sin embargo, en lugar de tener que aprender 10 símbolos como tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema decimal, los Babilonios sólo tenían que aprender dos símbolos para producir su sistema posicional de base 60.

Ahora bien, aunque el sistema babilónico era un sistema posicional de base 60, contenía ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es así porque cada uno de los 59 números que van en cada posición se construye con un símbolo de unidades y otro de decenas.

EL ORIGEN DE LOS NUMEROS ENTEROS

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades utilizaba piedras, hacía marcas en los arboles o nudos en sogas. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,...,n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...

Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...

Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.


REFLEXIONA Y RESPONDE:

¿Cómo leerías un libro como el Quijote sin números en las páginas?
¿Cómo encontrarías una dirección si las calles y avenidas no estuvieran enumeradas?
¿Qué referencia se utiliza para medir el nivel del mar?
¿Cuándo empezó a utilizarse el cero como punto de partida?
¿Cómo surgió el sistema métrico decimal?


AUN MÁS SOBRE LOS NÚMEROS ENTEROS…

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}. Este conjunto se denota por la letra Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N pertenece a Z.

El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.


REPRESENTANDO LOS NÚMEROS ENTEROS…

El conjunto de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen a dicho conjunto. En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n > m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.


Los números enteros son positivos cuando se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se obtienen poniendo el signo + (más) delante de un número natural. Son negativos cuando están a la izquierda del cero, y se obtienen al poner el signo - (menos) delante de un número natural.

De esta manera tenemos dos conjuntos:

• Conjunto de números enteros positivos
• Conjunto de números enteros negativos


Los números enteros acotan todo lo que nos rodea, con pruebas sencillas podemos experimentar su aplicación en la vida cotidiana, desde la utilización de estos para medir distancias y temperaturas, hasta la encriptación del comercio electrónico y el cálculo del número de asistentes a una manifestación.

Empezamos por lo más sencillo: ¿cómo saber cuántas ovejas tenemos?, ó ¿cuántas se comió el lobo?. Hay que contar y para ello usamos los números naturales o números positivos: 1, 2, 3,…

¿Qué día es hoy? ¿Cuándo naciste? Hay que contar y ordenar, para lo que también usamos los números positivos: 0, 1, 2, 3,…

¿Cómo representar las temperaturas bajo cero? ¿Cómo contar cuando debemos más de lo que tenemos? Hay que contar a ambos lados de una referencia (el cero), y para ello usamos los números enteros positivos y negativos: …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…


A continuación te presento una situación de aprendizaje donde tendrás que ayudar a Toloméo a solucionar su problema:

Un día de mucho trabajo Toloméo el mensajero de un edificio decide no subir más escaleras y aunque le daba pánico el ascensor decide optar por él, estando en el segundo piso debía realizar las siguientes tareas: subir siete pisos y entregar las flores para Martha la secretaria que se encontraba de cumpleaños, subir dos más y entregar el periódico a su jefe, descender tres para entregar al supervisor las cartas que le había enviado su jefe, este le ordena que descienda un piso y le lleve un tinto a su oficina, pero se equivoca y asciende tres, allí le entregan las llaves del aseo para que le abra a la señora que limpia, entonces desciende dos y entrega el tinto, sin querer asciende cuatro…….¡Oh Dios mío! me he vuelto loco no se en que piso me encuentro……

Ayuda a Toloméo a descubrir en que piso está.